Tresformada de Fourier

La tresformada de Fourier, denomada asina por Joseph Fourier, ye una tresformamientu matemáticu emplegada pa tresformar señales ente'l dominiu del tiempu (o espacial) y el dominiu de la frecuencia, que tien munches aplicaciones na física y la inxeniería. Ye reversible, siendo capaz de tresformase en cualesquier de los dominios al otru. El mesmu términu refierse tanto a la operación de tresformamientu como a la función que produz.

Nel casu d'una función periódica nel tiempu (por casu, un soníu musical continuu pero non necesariamente sinusoidal), la tresformada de Fourier puede simplificase pal cálculu d'un conxuntu discretu d'amplitúes complexes, llamáu coeficientes de les series de Fourier. Ellos representen l'espectru de frecuencia de la señal del dominiu-tiempu orixinal.

La tresformada de Fourier ye una aplicación que fai corresponder a una función ${\displaystyle f}$ con otra función ${\displaystyle g}$ definida de la manera siguiente:

${\displaystyle g(\xi )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)y^{-i\xi \,x}dx}$

Onde ${\displaystyle f}$ ye ${\displaystyle \displaystyle {L^{1}}}$, esto ye, ${\displaystyle f}$ tien que ser una función integrable nel sentíu de la integral de Lebesgue. El factor, qu'acompaña la integral en definición facilita l'enunciáu de dalgunos de los teoremas referentes a la tresformada de Fourier. Anque esta forma de normalizar la tresformada de Fourier ye la más comúnmente adoptada, nun ye universal. Na práutica les variables ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle \xi }$ suelen tar acomuñaes a dimensiones como'l tiempu segundos— y frecuencia —herzios— respeutivamente, si utiliza la fórmula alternativa:

${\displaystyle g(\xi )={\sqrt {\frac {\beta }{2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)y^{-i\beta \xi \,x}dx}$

la constante ${\displaystyle \beta }$ ataya les dimensiones acomuñaes a les variables llogrando un esponente adimensional.

La tresformada de Fourier asina definida gocia d'una serie de propiedaes de continuidá que garanticen que puede estendese a espacios de funciones mayores ya inclusive a espacios de funciones xeneralizaes.

Les sos aplicaciones son munches, n'árees de la ciencia ya inxeniería como la física, la teoría de los númberos, la combinatoria, el procesamientu de señales (electrónica), la teoría de la probabilidá, la estadística, la óptica, la espardimientu d'ondes y otres árees. En procesamientu de señales la tresformada de Fourier suel considerase como la descomposición d'una señal en componentes de frecuencies distintes, esto ye, ${\displaystyle g}$ correspuende al espectru de frecuencies de la señal ${\displaystyle f}$.

La caña de la matemática qu'estudia la tresformada de Fourier y les sos xeneralizaciones ye denomada analís harmónicu.

Son delles les notaciones que s'utilicen pa la tresformada de Fourier de ${\displaystyle f}$. He equí dalgunes d'elles:

${\displaystyle {\mathcal {F}}[f],{\hat {f}},F(f),{\mathcal {F}}\{f\}}$.